La
teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades
de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos
en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta
básica en la formulación de cualquier teoría matemática.
Sin
embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para
construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números,
funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los
fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de
la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la
matemática.
Además,
la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como
herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los
conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de
propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o
la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y
técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
PROBLEMA:
Existen
dos formas de describir un conjunto o especificar sus elementos. La primera es
por comprensión, usando una regla o descripción que los defina:
A
es el conjunto cuyos elementos son los primeros cuatro números positivos.
B
es el conjunto de los colores de la bandera Francesa.
La
segunda por extensión, esto es una lista de cada uno de los elementos. Una
definición por extensión aparecerá rodeando con llaves los elementos del
conjunto.
C
= { 4, 2, 1, 3 }
D
= {azul, blanco, rojo}
Algunos
detalles importantes son: cada elemento de un conjunto debe ser único, no puede
haber dos idénticos y el orden de los mismos es irrelevante (a diferencia de
las sucesiones o series) porque la definición por extensión sólo refiere al
hecho de que cada elemento listado pertenece al conjunto. Para conjuntos con
muchos elementos, esta notación puede ser abreviada usando puntos suspensivos
... Por ejemplo el conjunto de los primeros mil positivos sería { 1, 2, 3,...,
1000} donde los paréntesis indican que la lista continúa siguiendo el patrón
obvio. También se usan puntos suspensivos cuando el conjunto tiene infinitos
elementos lo que sería para el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, ...}. La
notación con llaves también es usada para los conjuntos definidos por
comprensión, en éste caso las llaves significan el conjunto de
"todos..." aunque su desarrollo es un poco mas complejo. Por ejemplo
el conjunto F de los 20 menores naturales son:
F=
{n ∈ N/ 0 < n
< 21}
En
esta notación la barra / significa "tal que" (también se usa
":"). Cualquiera de las dos formas se pueden usar indistintamente;
por ejemplo en los casos anteriores A=C y B=D.
PERMUTACIÓN
En
matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de
los elementos de un conjunto. Por
ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin
repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos
elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3",
"2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".
Problemas
resueltos de permutaciones:
1.
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2,
3, 4,5.?
n = 5 r = 5
Sí
Entran
todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.
Sí
Importa
el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.
No
Se
repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.
P5= 5|= 5 x 4 x 3
x 2 x 1 = 120
2.
¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de
butacas?
Sí
Entran
todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.
Sí
Importa
el orden.
No
Se
repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.3. ¿De cuántas formas
distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?
4
Con las
cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se
pueden formar?
m
= 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9
Sí
Entran
todos los elementos.
Sí
Importa
el orden.
Sí
Se
repiten los elementos.
P8= 8|= 40 320
COMBINACIÓN
Las
combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto
teniendo en cuenta que:
NO
influye el orden en que se colocan.
Si
permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces
como elementos tenga la agrupación.
Si
se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de
cinco cartas habría?
La
cantidad de combinaciones posibles sería:
C(9,5)/5!
= (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.
CRITERIOS DE PROBABILIDAD
La
teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los
fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos
determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos
realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se
calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los
fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como
resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones
determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas,
por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría de
probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado
que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos
resultados y saber si un suceso es más probable que otro.
