PROBABILIDAD

PROBABILIDAD SIMPLE

En una comida hay 28 hombres y 32 mujeres. Han comido carne 16 hombres y 20 mujeres, comiendo pescado el resto. Si se elige una de las personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea hombre?

Solución:

La información sobre lo que come cada una de las personas es insustancial. Pues en lo que solicita no hay relación con ello. Por definición, la probabilidad pedida viene dada por:

P= casos favorables a la selección 28/casos totales de la muestra 60

P= 28/60

PROBABILIDAD CONJUNTA

En una tómbola hay 3 bolas rojas y 5 blancas. Se extraen una y sin reposición, dos bolas. La probabilidad de que ambas resulten rojas es:

Solución:

Los eventos de extracción son independientes, por lo tanto, la probabilidad pedida será el producto de cada una de las probabilidades individuales. La 1º extracción tiene 3 casos favorables de un total de 8 bolas. La probabilidad es 3/8. La 2º tiene 2 casos favorables de un total de 7 bolas que quedan. Su probabilidad es 2/7  Así, la probabilidad pedida es:

P= (3/8) (2/7)

P= (3/4) (1/7)

P= 3/28

REGLA DE ADICIÓN

Los eventos compuestos se generan al aplicar las operaciones básicas de los conjuntos a los eventos simples. Las uniones, intersecciones y complementos de eventos son de interés frecuente. La probabilidad de un evento compuesto a menudo puede obtenerse a partir de las probabilidades de cada uno de los eventos que lo forman. En ocasiones, las operaciones básicas de los conjuntos también son útiles para determinar la probabilidad de un evento compuesto.

De esta manera para A y B eventos del espacio muestral S, entonces:

Demostración:

Se conoce que:

Por otro lado se tiene que:

Entonces:

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

1 .-  Escribe la regla y explica el significado. La regla es P(E*F) = P(E)*P(F) donde E y F son eventos independientes. Explica que independientes significa que un evento ocurriendo no tiene efecto en la probabilidad de que otro ocurra.

2.- Da ejemplos de cómo la regla funciona cuando los eventos son independientes.

Un ejemplo: Al seleccionar cartas de una baraja de 52 cartas, la probabilidad de obtener un As es de 4/52 =1/13, porque hay 4 Ases entre las 52 cartas (esto debió de haberse explicado en otra lección anterior). La probabilidad de seleccionar corazón es 13/52 = 1/4. La probabilidad de escoger un As de corazones es de 1/4*1/13 =1/52.

3.- Da ejemplos de donde la regla falla porque los eventos no son independientes. Un ejemplo: la probabilidad de escoger un As es de 1/13, la probabilidad de seleccionar un 2 es también de 1/13. Pero la probabilidad de escoger un As y un dos en la misma baraja no es de 1/13*1/13, sino que es 0, porque los eventos no son independientes.

 

Probabilidad compuesta, intersección de sucesos ⇒ p (A ∩ B)

Sucesos A y B independientes la probabilidad es:

⇒ p (A ∩ B) = p (A) + P(B)

Sucesos A y B dependientes hablamos de probabilidad condicionada.

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Las fórmulas para explicar la probabilidad condicionada y dentro de esta la probabilidad total y el teorema de Bayes se comprenden mejor en los ejemplos.

PROBABILIDAD TOTAL

TEOREMA DE BAYES

EJEMPLOS DE PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES

TEORÍA DE CONJUNTOS

La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de los conjuntos: colecciones abstractas de objetos, consideradas como objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más elementales son una herramienta básica en la formulación de cualquier teoría matemática.

Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.

Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.

PROBLEMA:

Existen dos formas de describir un conjunto o especificar sus elementos. La primera es por comprensión, usando una regla o descripción que los defina:

A es el conjunto cuyos elementos son los primeros cuatro números positivos.

B es el conjunto de los colores de la bandera Francesa.

La segunda por extensión, esto es una lista de cada uno de los elementos. Una definición por extensión aparecerá rodeando con llaves los elementos del conjunto.

C = { 4, 2, 1, 3 }

D = {azul, blanco, rojo}

Algunos detalles importantes son: cada elemento de un conjunto debe ser único, no puede haber dos idénticos y el orden de los mismos es irrelevante (a diferencia de las sucesiones o series) porque la definición por extensión sólo refiere al hecho de que cada elemento listado pertenece al conjunto. Para conjuntos con muchos elementos, esta notación puede ser abreviada usando puntos suspensivos ... Por ejemplo el conjunto de los primeros mil positivos sería { 1, 2, 3,..., 1000} donde los paréntesis indican que la lista continúa siguiendo el patrón obvio. También se usan puntos suspensivos cuando el conjunto tiene infinitos elementos lo que sería para el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, ...}. La notación con llaves también es usada para los conjuntos definidos por comprensión, en éste caso las llaves significan el conjunto de "todos..." aunque su desarrollo es un poco mas complejo. Por ejemplo el conjunto F de los 20 menores naturales son:

F= {n ∈ N/ 0 < n < 21}

En esta notación la barra / significa "tal que" (también se usa ":"). Cualquiera de las dos formas se pueden usar indistintamente; por ejemplo en los casos anteriores A=C y B=D.

PERMUTACIÓN

En matemáticas, una permutación es la variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto. Por ejemplo, en el conjunto {1,2,3}, cada ordenación posible de sus elementos, sin repetirlos, es una permutación. Existe un total de 6 permutaciones para estos elementos: "1,2,3", "1,3,2", "2,1,3", "2,3,1", "3,1,2" y "3,2,1".

Problemas resueltos de permutaciones:

1. ¿Cuántos números de 5 cifras diferentes se puede formar con los dígitos: 1, 2, 3, 4,5.? 

n = 5 r = 5

Sí

Entran todos los elementos. De 5 dígitos entran sólo 3.

Sí

Importa el orden. Son números distintos el 123, 231, 321.

No

Se repiten los elementos. El enunciado nos pide que las cifras sean diferentes.

P₅= 5|= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

2. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una fila de butacas?

Sí

Entran todos los elementos. Tienen que sentarse las 8 personas.

Sí

Importa el orden.

No

Se repiten los elementos. Una persona no se puede repetir.3. ¿De cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas alrededor de una mesa redonda?

4

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9

Sí

Entran todos los elementos.

Sí

Importa el orden.

Sí

Se repiten los elementos.

P₈= 8|= 40 320

COMBINACIÓN

Las combinaciones son aquellas formas de agrupar los elementos de un conjunto teniendo en cuenta que:

NO influye el orden en que se colocan.

Si permitimos que se repitan los elementos, podemos hacerlo hasta tantas veces como elementos tenga la agrupación.

Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve, ¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?

La cantidad de combinaciones posibles sería:

C(9,5)/5! = (9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.

CRITERIOS DE PROBABILIDAD

La teoría de la probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos aleatorios estocásticos. Estos deben contraponerse a los fenómenos determinísticos, los cuales son resultados únicos y/o previsibles de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas, por ejemplo, si se calienta agua a 100 grados Celsius a nivel del mar se obtendrá vapor. Los fenómenos aleatorios, por el contrario, son aquellos que se obtienen como resultado de experimentos realizados, otra vez, bajo las mismas condiciones determinadas pero como resultado posible poseen un conjunto de alternativas, por ejemplo, el lanzamiento de un dado o de una moneda. La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro.